Critères de divisibilités de tous les nombres premiers

1.    INTRODUCTION

Nous connaissons tous les règles de divisibilité des nombres premiers comme celles de 2 : le chiffre des unités forme un nombre pair ;

              De 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3 ;

              De 5 : le nombre se termine par zéro ou 5 ;

   De 11 : la somme des chiffres de rang pair diminuée de celle de rang impair est un multiple de 11 (appartient à Z11 ).

Mais qu’en est-il des règles de divisibilité des autres nombres premiers comme 7 ou 13 ?  Et pourquoi pas une règle pour tout nombre premier ?

Nous allons montrer qu’il existe une règle pour chaque nombre premier quel qui soit, petit ou très grand.

Pour cela nous définirons d’abord ce que nous appelons « le nombre associé » du nombre premier : par exemple : l’associé du nombre premier 7 est 2.

Une nouvelle règle de divisibilité :

Étudions si 1183 est divisible par 7 : nous travaillons avec l’associé de 7 soit donc 2 : regardons le chiffre des unités : 3, multiplions ce chiffre par 2 et retirons le résultat au nombre 118 (la partie entière de 1183/10 ) : nous obtenons 112. Nous reproduisons le procédé en multipliant le chiffre des unités de 112 :2 par 2 que nous retranchons à 11 (partie entière de 112/10) : nous obtenons 7 : ce nombre est un multiple de 7 ! 1183 est un multiple de 7 !

Pour faciliter les calculs, nous pouvons présenter cet algorithme de calcul de la manière suivante :

Nous allons montrer que tout nombre premier supérieur à 5 possède un nombre associé et nous donnerons le procédé de calcul pour déterminer cet associé. Nous établirons ensuite un algorithme de divisibilité, et nous finirons par une synthèse donnant les associés les plus intéressants.

2.    THEOREME 1 :

Appelons P₅ : l’ensemble des nombres premiers strictement supérieur à 5.

Pour tout entier p, p appartenant à P₅, il existe un élément unique q

 tel que le chiffre des unités de pq soit 1.

Démonstration :

Soit p appartenant à P₅  le chiffre des unités de p ne peut être que 1, 3, 7 ou 9. En effet p n’est pas un multiple de 2 ni de 5, suivant ce que nous avons dit en introduction : le chiffre des unités ne peut qu’être impair et différent de 5.

Notons u(p) : le chiffre des unités de p.

·       Pour u(p) = 1, q = 1

·       Pour u(p) = 3, q = 7

·       Pour u(p) = 7, q = 3

·       Pour u(p) = 9, q = 9

L’unicité de q est immédiate.

3. DÉFINITION DE L’ASSOCIÉ

On appelle associé du nombre premier p,  p appartient à P_5,  le nombre noté A(p) et défini par :

où q a été défini par le théorème 1 au §2

4.THEOREME :

4.ALGORITHME

5 TABLEAU DES ASSOCIES INFERIEURS A 100

 

6. RETOUR SUR LA REGLE DE 11

Somme des chiffres de rang impair diminuée de celle de rang pair.

Il s’agit bien de la même règle.

7. CONCLUSION

Nous avons établi une règle de divisibilité simple pour tous les nombres premiers supérieurs à 5, le tableau du paragraphe 5, nous montre des associés inférieurs  à 10.

Ainsi, nous pourrions en présenter un extrait pour les associés de 1 à 9

 

Nous remarquons que 8 n’est l’associé d’aucun nombre premier, cela se comprend.